Persamaan fungsional adalah persamaan yang variabelnya bukan berupa bilangan (seperti x atau y), melainkan berupa fungsi (seperti f(x) atau g(x)). Tujuan dari penyelesaian persamaan fungsional adalah untuk menemukan semua fungsi yang memenuhi persamaan tersebut untuk domain yang diberikan.
Contohnya, alih-alih menyelesaikan x + 2 = 5 untuk menemukan nilai x, kita mungkin diminta menyelesaikan f(x + y) = f(x) + f(y) untuk menemukan bentuk fungsi f.
Memahami perbedaan antara persamaan aljabar biasa dan persamaan fungsional adalah langkah pertama yang paling penting. Tabel di bawah ini merangkum perbedaan utamanya:
| Aspek | Persamaan Biasa (Aljabar) | Persamaan Fungsional |
|---|---|---|
| Apa yang dicari? | Sebuah nilai numerik atau sekumpulan nilai. | Sebuah fungsi atau sekumpulan fungsi (aturan/rumus). |
| Contoh | 2x - 8 = 0 |
f(xy) = f(x) + f(y) |
| Variabelnya adalah... | Angka yang tidak diketahui (x, y). |
Fungsi yang tidak diketahui (f, g). Variabel di dalam kurung seperti x dan y hanya placeholder untuk semua nilai dalam domain. |
| Tujuannya adalah... | Menemukan angka yang jika disubstitusi akan membuat pernyataan benar. | Menemukan aturan fungsi yang berlaku untuk semua nilai yang diizinkan dalam domainnya. |
| Solusi dari Contoh | x = 4. Ini adalah sebuah angka. |
f(x) = c * ln(x) (fungsi logaritma). Ini adalah sebuah fungsi. |
f(x + y) = f(x) + f(y)f(xy) = f(x) + f(y)f(xy) = f(x)f(y)f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)Menyelesaikan persamaan fungsional seringkali melibatkan kreativitas dan intuisi, namun ada beberapa teknik umum yang bisa digunakan sebagai titik awal:
y = x, y = 0, y = -x). Ini seringkali membantu menemukan nilai-nilai kunci seperti f(0) atau f(1).
f(a) = f(b) maka a = b.y di kodomain, ada x di domain sehingga f(x) = y.f(-x) = f(x) (genap) atau f(-x) = -f(x) (ganjil)?f(x) = ax^n + ...) dan mencari koefisiennya.
Mari kita coba selesaikan persamaan fungsional Cauchy f(x + y) = f(x) + f(y) untuk fungsi f: ℚ → ℚ (dari bilangan rasional ke bilangan rasional).
Langkah 1: Cari f(0)
Substitusi x = 0 dan y = 0:
f(0 + 0) = f(0) + f(0)f(0) = 2f(0)f(0) = 0.
Langkah 2: Bilangan Bulat
Substitusi y = x:
f(2x) = f(x+x) = f(x) + f(x) = 2f(x)
Dengan induksi, kita bisa buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku f(nx) = nf(x).
Sekarang, untuk bilangan bulat negatif. Misal y = -x:
f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)f(0) = f(x) + f(-x)0 = f(x) + f(-x), jadi f(-x) = -f(x). Fungsi ini ganjil.
Langkah 3: Bilangan Rasional
Misalkan c = f(1). Dari langkah 2, kita tahu f(n) = nf(1) = cn untuk setiap bilangan bulat n.
Sekarang, ambil bilangan rasional q = m/n (dengan m, n bilangan bulat, n ≠ 0).
f(n * (m/n)) = n * f(m/n)f(m) = n * f(m/n)cm = n * f(m/n)f(m/n) = cm/n = c * (m/n)
Jadi, untuk setiap bilangan rasional x, kita mendapatkan f(x) = cx, di mana c adalah sebuah konstanta.
Solusi: f(x) = cx untuk suatu konstanta rasional c.
Catatan: Jika domainnya adalah bilangan real (f: ℝ → ℝ), solusinya juga f(x) = cx, tetapi pembuktiannya jauh lebih kompleks dan memerlukan asumsi tambahan seperti kontinuitas.
Coba temukan semua fungsi f: ℝ → ℝ yang memenuhi persamaan berikut:
f(x) + 2f(-x) = x^2 + xf(x + y) - f(x - y) = 4xyf(x)f(y) = f(x+y) untuk semua x, y di ℝ (Petunjuk: Pikirkan tentang fungsi eksponensial).
Sebuah perusahaan rintisan (startup) menyadari bahwa biaya untuk mengembangkan perangkat lunak mereka memiliki sifat yang menarik. Biaya untuk menyelesaikan x + y fitur ternyata sama dengan jumlah biaya untuk menyelesaikan x fitur dan biaya untuk menyelesaikan y fitur secara terpisah. Jika diketahui biaya untuk menyelesaikan 1 fitur adalah Rp 5.000.000, berapakah total biaya untuk menyelesaikan 20 fitur?
Langkah 1: Terjemahkan ke dalam Persamaan Fungsional
Mari kita definisikan B(n) sebagai biaya untuk menyelesaikan n fitur, di mana n adalah bilangan bulat positif. Dari soal cerita, kita dapat menarik dua informasi kunci:
B(x + y) = B(x) + B(y)B(1) = 5.000.000
Persamaan B(x + y) = B(x) + B(y) adalah bentuk dari persamaan fungsional Cauchy untuk domain bilangan asli.
Langkah 2: Selesaikan Persamaan Fungsional
Strategi: Menemukan Pola
Anda benar, kita sudah tahu nilaiB(1)dari soal. Namun, tujuan akhir kita adalahB(20). Kita tidak bisa langsung melompat ke sana.
Strateginya adalah menggunakanB(1)sebagai "batu loncatan" untuk menemukan pola umum dari fungsiB(n). Dengan menghitungB(2), laluB(3), kita bisa melihat bagaimana fungsi ini bekerja. Setelah menemukan rumus umumnya (dalam hal iniB(n) = n * B(1)), barulah kita bisa dengan mudah menghitung nilai untuk input apa pun, termasukn=20.
Mari kita terapkan strategi ini. Kita mulai dengan apa yang kita tahu, B(1), dan kita gunakan aturan B(x+y)=B(x)+B(y) untuk menemukan nilai berikutnya:
B(2) = B(1 + 1) = B(1) + B(1) = 2 * B(1)Poin Penting: Kenapa B(1+1)?
Pertanyaan "mengapa bisa B(1+1) padahal y tidak diketahui?" adalah poin yang sangat bagus.
Kunci dari persamaan fungsional adalah bahwa persamaanB(x + y) = B(x) + B(y)berlaku untuk semua nilai x dan y yang valid (dalam hal ini, bilangan bulat positif). Variabelxdanybukanlah nilai spesifik yang harus kita cari. Sebaliknya, mereka adalah placeholder.
Kita bebas memilih nilai apa pun untuk x dan y untuk menyelidiki sifat fungsiB. Dalam kasus ini, untuk mencari tahu nilaiB(2), kita secara strategis memilihx = 1dany = 1. Pilihan ini valid karena1+1=2, dan kita sudah tahu nilaiB(1). Jadi, kita tidak "menemukan" y, melainkan "menggunakan" nilai y yang kita pilih sendiri untuk memecahkan masalah.
B(3) = B(2 + 1) = B(2) + B(1) = (2 * B(1)) + B(1) = 3 * B(1)
Dari pola ini, kita dapat melihat (dan dapat membuktikannya dengan induksi matematika) bahwa untuk setiap bilangan asli n:
B(n) = n * B(1)
Langkah 3: Hitung Jawaban Akhir
Sekarang kita tahu bentuk umum fungsinya dan kita tahu nilai B(1). Kita bisa langsung menghitung biaya untuk 20 fitur.
B(20) = 20 * B(1)B(20) = 20 * 5.000.000B(20) = 100.000.000
Jawaban: Jadi, total biaya untuk menyelesaikan 20 fitur adalah Rp 100.000.000.